こんにちは。
お子さんが嘘をつく原因はどこにあるんでしょうか。
宿題を忘れたりできなかったりしたとき、怒られるのが怖くて嘘をつくのか、忙しいママに構ってほしくて、嘘で反応を引き出そうとするのか、宿題が終わったと言えば「よくやった！」と褒められるかも、と思っているのかで関わり方が変わってくるかなと感じます。

「宿題終わったって言ったけど、ほんとはどうだったの？」と優しく聞いてみると、理由が見えてくるかもしれません。

フルタイムの仕事と育児で余裕がない中、旦那さんの協力もあまり得られず、ストレスも多い状況かと思います、無理なさらず、学校の先生とも相談しながら解決していくたらいいですね。

お子さんの「ママがいい」というべったりな様子や強い独占欲、すごくよく分かります！
3～5歳くらいだと、自分にとって一番大切な人（特にママ）を「独占」したい気持ちが強くなるのはよくある行動です。「〇〇ちゃんは！？」と怒るのも、ママに特別に見てほしい、認められたいという気持ちの表れかもしれませんね。
ただ、お母さんとしてはそのべったり具合に「これでいいのかな？」と不安になるのもすごく分かります。
保育園で他の子と過ごす時間があるので、集団生活の中で少しずつ「ママ以外の人」との関わりも学んでいるはずです。家でのべったりは、安心できるママに甘えたい反動かもしれません。

こんなにママ大好き！ってくっついてくるのは、ママが愛情たっぷり注いでる証拠で、めっちゃ素敵なママだと思いますよ！