こんにちは。
今は保険証はありますか？
あとこども医療費助成も申請できてますか？
何も出来てないのであればまずは役所に相談しましょう。
無保険で何かあったとき多額の支払いが発生したら困りますよね。

今は保険証もあって医療費助成の紙も手元にあるなら、自治体から貰ってる問診票を用意して病院に電話しましょう。
何も受けてないことを伝えてどれから打ったらいいのか聞けば、一般的なスケジュールから優先順位などを考えてくれます。
月齢がわかりませんが、私も長いこと里帰りしてたので予防接種は3ヶ月過ぎからと遅かったですが何か言われたりとかありませんでした。

それに反予防接種の人とかもいますから、遅くなったけど認識がかわってやはり打ち始める人もいるでしょうからあまり深く考えなくてもいいと思います。
ただ無料には有効期限があるので打ち始めるなら早いことにこしたことはないです。

保険証関連がまだであれば役所の窓口に、保険証関連は問題なければ小児科に連絡しましょう。
予防接種が始まると怒涛の生活になりますから頑張ってくださいね。