お疲れのようで実家で少しでも休めているのならいいのですが
おうちに帰りたくないとのことでお父さんとお母さんやお子さんで何か問題があったりするのでしょうか？
うちの場合夫婦で金銭関係でケンカのようになったときに子供が不安定で癇癪を起しがちになります

以下はお母さんが実家でなく夫婦で過ごす家に帰りたいという意思がある前提で書きますね
ババの家がいい（たぶんお母さんの実家ですよね？）というのは
お母さんが近くにいておばあちゃんもいてと手厚く見てもらえる環境が落ち着くこと
お母さんが家事にかかる時間が減って一緒に遊んでもらえる、イライラしていない
お父さんと性格が合わなかったりすると原因のお父さんがいない方が気が楽
こういったことがお子さんの中感じていることなのかなと感じました

反対に言えばこの上記のことが家に帰るとできなくて癇癪が怒るのであればそれを対処しないとたぶんまた同じことですよね
例えば手厚い方がいい、ということであればしばらくおばあちゃんに来てもらう、家事を減らすのなら外注する、みんなで協議して外食や弁当総菜を活用する
お父さんと何かトラブルが起こりやすいのならどうしたらいいか夫婦で検討する
こういったことを進めていくしかないと思います
ただその気力が尽きる相手で実家の方が確かにいいというのなら一緒に暮らすこと自体検討しない方がいい（離婚になるかも）とも思います　大きな分岐点に立っているのかなと見ていて思いました

癇癪については、そういった外部から手当をしても成長段階なので落ち着かないことがまだまだあると思います
切り替え苦手という特性、保育園のこれが嫌、など何か条件であれば聞き取って変更を検討していくことが親としてできることかと
上の子供は年長の最後まで登園渋りがあり、場面の切り替えが苦手という特性が発達検査などで分かったことから成長するまで様子見をしようとなり8歳の今ではむしろほかの子より適応能力が高くなっている気がします
成長するまで気長に待つしかないところもあるし、支援を受けられそうならそちらを進めつつ、ご家庭の中の色々があるのならそちらも進めていくしかないかなと
忙しいと思いますが、きっと最後良くなると思って進めていけるといいですね

3歳とのこと伝えていてもどこまで理解できているかも微妙ですよね
片付けというのが何のことかわかる
片付けないといけないものがわかる
片付けをどこにすればいいかわかる（皿はキッチンおもちゃはこの棚のここみたいな）
いつ片づけをするのかわかる
（私は昔、いつと決めてなくて次の遊びの前に片付けてって優しく声かけを2回してはいと返事があったのにしない場合3回目に結構怒ってしまうというのを繰り返していました　例えばごはん前とかタイミングを決めるとよかったんだと思ったので）
この条件がすべてわかって初めて片付けは成立します
片付けられないことについては叱るとやれるのならいつ片づけ以外をわかっているのでいつを決めれば大丈夫だし、そもそも片付けって何？とぽかんとするのなら片付けが何かから教え直しになると思います
おもちゃの車だけとか決めて片付けが何か教えていくしかないと思います

つばをため込み吐くというのは呑み込みが苦手な子なんでしょうか？
普段も飲み込むときに突っかかりやすくて小さくしないと食べないとか、スープをごくごく飲めない（とろみがないとむせてしまう）といった機能的な問題があって飲み込めないのなら扁桃腺が大きいなど治療対象になると思います

つばというものがとってもまずい、汚いと強迫観念のようなものを持っていて飲み込めないから困って吐き出しているのなら吐き出すにしても場所を指定するのも手かもしれません
タオルをあげておいてここならよい　洗面台ならいいとか
それでも床に吐き出すのが楽しいのなら水遊びが好き（液体が飛んでいくのを見ているのが好き）といった可能性もありますよね
面倒だと思うかもしれませんがそういった可能性をつぶしつつ、保育園に行かれているのなら聞いてみるとこういったことがあるかもという保育士さんからアドバイスのを教えてもらえるかもしれません（3歳なので来月から登園なのかも？）